(বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি)
1. বিকল্প উত্তরগুলির মধ্যে থেকে সঠিক উত্তরটি বেছে নিয়ে লেখো :
(i) 5 টি পদযুক্ত একটি সেটে সম্বন্ধের সংখ্যা
(a) 5
(b) 25
(c) 25
(d) 225
সমাধানঃ
একটি সেটে \(n\) টি পদ (elements) থাকলে, সম্ভাব্য ক্রমিত যুগল (ordered pair) এর সংখ্যা হয় \(n^2\).
এখানে \(n = 5\), তাই ordered pair-এর সংখ্যা = \(5^2 = 25\).
একটি সম্বন্ধ (relation) হলো মূলত ওই সেটের ওপর একটি উপসেট (subset of \(A \times A\)).
সুতরাং relation-এর সংখ্যা হবে \(2^{25}\).
✅ সঠিক উত্তর: (d) \(2^{25}\)
(ii) \(\sin^{-1}\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)\)-এর মুখ্য মান হবে
(a) \(\dfrac{\pi}{6}\)
(b) \(\dfrac{5\pi}{6}\)
(c) \(\dfrac{\pi}{2}\)
(d) \(\dfrac{\pi}{3}\)
সমাধানঃ
\(\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi - \dfrac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}.\)
অতএব \(\displaystyle \sin^{-1}\!\Big(\sin\big(\tfrac{5\pi}{6}\big)\Big) = \sin^{-1}\!\big(\tfrac{1}{2}\big).\)
\(\sin^{-1} x\)-এর principal value (মুখ্য মান) হয় \(\big[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\big]\) এর মধ্যে।
\(\sin^{-1}\!\big(\tfrac{1}{2}\big) = \dfrac{\pi}{6}\) কারণ এটি উক্ত ইন্টারভালে পড়ে।
✅ সুতরাং মুখ্য মান হবে: (a) \(\dfrac{\pi}{6}\)
(iii) \(A\) একটি তৃতীয় ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স হলে \(|kA|\)-এর মান হবে (\(k\) একটি ধ্রুবক)
(a) \( k|A| \)
(b) \( k^{2}|A| \)
(c) \( k^{3}|A| \)
(d) \( 3k|A| \)
সমাধানঃ
যদি \(A\) একটি \(n\times n\) বর্গ ম্যাট্রিক্স হয় এবং প্রতিটি সারি (বা স্তম্ভ) কে \(k\) দ্বারা গুণ করা হয়, তবে determinant \(k\)-এর \(n\) তম ঘাত দ্বারা গুণিত হয়। অর্থাৎ \(|kA| = k^n |A|\).
এখানে \(n=3\)। তাই \(|kA| = k^3 |A|.\)
✅ সঠিক উত্তর: (c) \(k^{3}|A|\)
(iv) \(\displaystyle \int_{0}^{x} f(t)\,dt = x + \int_{1}^{x} t f(t)\,dt\) হলে, \(f(x)\)-এর মান হবে
(a) \(1+x\)
(b) \(1-x\)
(c) \(\dfrac{1}{1+x}\)
(d) \(\dfrac{1}{1-x}\)
সমাধানঃ
প্রশ্নে দেওয়া: \(\displaystyle \int_{0}^{x} f(t)\,dt = x + \int_{1}^{x} t f(t)\,dt.\)
উভয় পাশকে \(x\) অনুযায়ী ডিফারেনশিয়েট করলে (Fundamental Theorem of Calculus):
\(\displaystyle f(x) = 1 + x f(x).\)
অতএব \(f(x)(1 - x) = 1\) বা \(f(x) = \dfrac{1}{1 - x}\).
✅ সঠিক উত্তর: (d) \(\dfrac{1}{1-x}\)
(v) \(\displaystyle \int_{0}^{\pi} |\cos x|\,dx\)-এর মান হবে
(a) 0
(b) \(\dfrac{1}{2}\)
(c) 1
(d) 2
সমাধানঃ
\(\displaystyle I=\int_{0}^{\pi}|\cos x|\,dx.\)
যখন \(0 \le x \le \tfrac{\pi}{2}\), তখন \(\cos x \ge 0\Rightarrow |\cos x|=\cos x\).
আর \(\tfrac{\pi}{2} \le x \le \pi\), তখন \(\cos x \le 0\Rightarrow |\cos x|=-\cos x\).
তাই\n \(\displaystyle I=\int_{0}^{\pi/2}\cos x\,dx + \int_{\pi/2}^{\pi} -\cos x\,dx.\)
প্রতিটি অংশের মান 1, তাই \(I=2.\)
✅ সঠিক উত্তর: (d) 2
(vi) অবকল সমীকরণ \( y=\dfrac{dy}{dx} + \dfrac{c}{\frac{dy}{dx}} \)-এর ক্রম ও ঘাত হবে
(a) 1, 2
(b) 2, 2
(c) 1, 1
(d) 2, 1
সমাধানঃ
প্রদত্ত সমীকরণে সর্বোচ্চ order-এ প্রবেশ করা ডেরিভেটিভ হলো \(\dfrac{dy}{dx}\) — অর্থাৎ প্রথম ডেরিভেটিভ। তাই ক্রম = 1.
উভয় পাশে \(\dfrac{dy}{dx}\) দিয়ে গুণ করলে পাওয়া যায় \(y\dfrac{dy}{dx} = \Big(\dfrac{dy}{dx}\Big)^2 + c\), যেখানে \(\dfrac{dy}{dx}\) এর সর্বোচ্চ ঘাত 2। তাই ঘাত = 2.
✅ সঠিক উত্তর: (a) 1, 2
(vii) \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{x}\) হলে \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\)-এর মান হবে
(a) 0
(b) \(\dfrac{y^2}{x^2}\)
(c) \(\dfrac{y}{x^2}\)
(d) \(\dfrac{1}{x}\)
সমাধানঃ
দেওয়া: \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{x}.\)
অতএব \(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{y}{x}\right)=\frac{x\cdot\frac{dy}{dx}-y}{x^2}.\)
এখানে \(\frac{dy}{dx}=\dfrac{y}{x}\) বসালে ফল শূন্য আসে, তাই \(\dfrac{d^2y}{dx^2}=0.\)
✅ সঠিক উত্তর: (a) 0
(viii) \(5-(x-1)^2\)-এর সর্বাধিক মান হবে
(a) 5
(b) 4
(c) 6
(d) 3
সমাধানঃ
\(5-(x-1)^2\) সর্বাধিক হবে যখন \((x-1)^2=0\Rightarrow x=1\) তখন মান \(5-0=5\).
✅ সঠিক উত্তর: (a) 5
(ix) \(\vec a\) এবং \(\vec b\) দুটি ভেক্টর যেখানে \(|\vec a|=\sqrt{3},\;|\vec b|=2\) এবং \(\vec a\cdot\vec b=\sqrt{6}\); \(\vec a\) ও \(\vec b\)-এর মধ্যবর্তী কোণ হবে
(a) \(\dfrac{\pi}{2}\)
(b) \(\dfrac{\pi}{6}\)
(c) \(\dfrac{\pi}{3}\)
(d) \(\dfrac{\pi}{4}\)
সমাধানঃ
\(\vec a\cdot\vec b = |\vec a||\vec b|\cos\theta.\) তাই \(\displaystyle \cos\theta = \frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|} = \frac{\sqrt6}{\sqrt3\cdot2} = \frac{\sqrt2}{2}.\)
অতএব \(\theta=\dfrac{\pi}{4}.\)
✅ সঠিক উত্তর: (d) \(\dfrac{\pi}{4}\)
(x) \(2P(A)=P(B)=\dfrac{6}{13}\) এবং \(P(A\mid B)=\dfrac{1}{3}\) হলে \(P(A\cup B)\)-এর মান হবে
(a) \(\dfrac{5}{13}\)
(b) \(\dfrac{9}{13}\)
(c) \(\dfrac{7}{13}\)
(d) \(\dfrac{6}{13}\)
সমাধানঃ
দেওয়া: \(2P(A)=P(B)=\dfrac{6}{13}\Rightarrow P(A)=\dfrac{3}{13},\;P(B)=\dfrac{6}{13}.\)
\(P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow P(A\cap B)=P(B)\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{13}.\)
অতএব \[P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\dfrac{3}{13}+\dfrac{6}{13}-\dfrac{2}{13}=\dfrac{7}{13}.\]
✅ সঠিক উত্তর: (c) \(\dfrac{7}{13}\)
Q2.(a)(i) \( g(x)=2x^{2}+1 \) এবং \( f(x)=3x \) হলে, \( f\{g(x)\}-g\{f(x)\} \)-এর মান নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
প্রদত্ত \(g(x)=2x^2+1,\; f(x)=3x.\)
\(f(g(x)) = 3\big(2x^2+1\big) = 6x^2+3.\)
\(g(f(x)) = 2\big(3x\big)^2 + 1 = 18x^2+1.\)
অতএব
\(\; f(g(x)) - g(f(x)) = (6x^2+3) - (18x^2+1) = -12x^2 + 2.\)
✅ নির্ণেয় উত্তর: \(\; 2 - 12x^2\)
2.(a)(ii) \(0\le x\le 1\) হলে দেখাও যে \(\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \dfrac{\pi}{2}.\)
ধরি \(\sin^{-1}x = \theta \Rightarrow \sin\theta = x,\; \theta\in\big[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\big].\)
তাহলে \(\cos\!\big(\tfrac{\pi}{2}-\theta\big)=\sin\theta = x \Rightarrow \cos^{-1}x=\tfrac{\pi}{2}-\theta.\)
অতএব \(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\theta+\big(\tfrac{\pi}{2}-\theta\big)=\tfrac{\pi}{2}.\)
Q2.(b)(i) \(2A^{T}+B=\begin{pmatrix}2 & 5 \\ 10 & 2\end{pmatrix}\) এবং \(2B^{T}+A=\begin{pmatrix}1 & 8 \\ 4 & 1\end{pmatrix}\) হলে, ম্যাট্রিক্স \(A\)-এর মান নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
প্রথম সমীকরণ: \(2A^{T}+B=\begin{pmatrix}2&5\\10&2\end{pmatrix}\;\) … (i)
দ্বিতীয় সমীকরণ: \(2B^{T}+A=\begin{pmatrix}1&8\\4&1\end{pmatrix}\;\) … (ii)
এখন (ii)-কে transpose করলে পাইঃ \((2B^{T}+A)^{T}=2B+A^{T}=\begin{pmatrix}1&4\\8&1\end{pmatrix}\;\) … (iii)
(iii) × 2 – (i) করলে:
\((2A^{T}+4B) - (2A^{T}+B) = \begin{pmatrix}2&8\\16&2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2&5\\10&2\end{pmatrix}\)
⇒ \(3B=\begin{pmatrix}0&3\\6&0\end{pmatrix}\)
⇒ \(B=\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}\)
এখন (i)-তে বসিয়ে পাই: \(2A^{T} = \begin{pmatrix}2&5\\10&2\end{pmatrix} - B = \begin{pmatrix}2&4\\8&2\end{pmatrix}\)
⇒ \(A^{T}=\begin{pmatrix}1&2\\4&1\end{pmatrix}\)
⇒ \(A=(A^{T})^{T}=\begin{pmatrix}1&4\\2&1\end{pmatrix}\)
✅ নির্ণেয় উত্তর: \(\;A=\begin{pmatrix}1&4\\2&1\end{pmatrix}\)
Q2.(b)(ii) \(\displaystyle \begin{vmatrix} -5 & 5 & 10 \\ 5 & -5 & x \\ 0 & 10 & 5 \end{vmatrix} = 0\) হলে, \(x\)-এর মান নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
প্রদত্ত determinant: \(\displaystyle \Delta = \begin{vmatrix} -5 & 5 & 10 \\ 5 & -5 & x \\ 0 & 10 & 5 \end{vmatrix}\)
এখন প্রথম কলামকে পরিবর্তন করি: \(C_1 \to C_1 - C_2\)
⇒ \(\displaystyle \Delta = \begin{vmatrix} 0 & 5 & 10 \\ 0 & -5 & x \\ 10 & 10 & 5 \end{vmatrix}\)
এখন ১ম সারি দিয়ে প্রসারিত করলে (cofactor expansion):
\(\displaystyle \Delta = 0 \cdot M_{11} - 5 \cdot M_{12} + 10 \cdot M_{13}\)
\(= -5\begin{vmatrix}0 & x \\ 10 & 5 \end{vmatrix} + 10\begin{vmatrix}0 & -5 \\ 10 & 10 \end{vmatrix}\)
\(= -5(0\cdot5 - x\cdot10) + 10(0\cdot10 - (-5)\cdot10)\)
\(= -5(-10x) + 10(50)\)
\(= 50x + 500\)
শর্ত অনুযায়ী \(\Delta = 0 \Rightarrow 50x + 500 = 0\)
⇒ \(x = -10\)
✅ নির্ণেয় উত্তর: \(\; x = -10\)
Q2.(c)(i) যদি \(f(x)=-f(-x)\) হয়, তবে দেখাও যে \(\displaystyle \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0.\)
সমাধানঃ
প্রদত্ত শর্ত \(f(x)=-f(-x)\) নির্দেশ করে যে \(f(x)\) একটি odd function।
এখন,
\(\displaystyle \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = \int_{0}^{a} f(x)\,dx + \int_{-a}^{0} f(x)\,dx.\)
দ্বিতীয় অংশে \(x=-t\) বসাই ⇒ \(dx=-dt\), যখন \(x=-a \to 0\), তখন \(t=a \to 0\)।
তাহলে,
\(\int_{-a}^{0} f(x)\,dx = \int_{a}^{0} f(-t)(-dt) = \int_{0}^{a} f(-t)\,dt.\)
কিন্তু \(f(-t)=-f(t)\), কারণ ফাংশনটি odd।
অতএব, \(\int_{-a}^{0} f(x)\,dx = -\int_{0}^{a} f(t)\,dt.\)
এখন,
\(\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = \int_{0}^{a} f(x)\,dx - \int_{0}^{a} f(x)\,dx = 0.\)
✅ প্রমাণিত: \(\displaystyle \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0\)
Q2.(c)(ii) যদি \(f'(a)\)-এর সসীম মান থাকে, তবে দেখাও যে \(f(x)\), \(x=a\)-তে সন্তত (continuous)।
সমাধানঃ
ধরা যাক \(f'(a)\) বিদ্যমান এবং সসীম। অর্থাৎ
\(\displaystyle f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}\) বিদ্যমান।
যদি এই সীমা বিদ্যমান হয়, তবে অবশ্যই numerator \(f(a+h) - f(a)\to 0\) যখন \(h\to 0\); ফলে \(\lim_{h\to0} f(a+h)=f(a)\)।
✅ প্রমাণিত: \(f'(a)\) সসীম হলে \(f\) বিন্দু \(x=a\)-এ সন্তত।
Q2.(c)(iii) যদি \(x = t,\; y = t^2\) হয়, তবে \(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}\) নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
প্রদত্ত \(x = t,\; y = t^2.\)
এখন, \(\displaystyle \frac{dy}{dt} = 2t,\quad \frac{dx}{dt} = 1.\)
অতএব, \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2t}{1} = 2t.\)
দ্বিতীয় ডেরিভেটিভঃ \(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\!\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{\frac{d}{dt}(2t)}{\frac{dx}{dt}} = \frac{2}{1} = 2.\)
✅ নির্ণেয় উত্তর: \(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2} = 2.\)
Q2.(c)(iv) (x)-অক্ষ, (y = 4x) এবং (x = 4) দ্বারা সীমাবদ্ধ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো (কলন-বিদ্যার প্রয়োগে)।
সমাধানঃ
(y = 4x) এবং (x)-অক্ষ ((y = 0)) পরস্পর (x = 0)-এ ছেদ করে।
তাহলে ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু হলঃ ((0,0)), ((4,0)), ((4,16))।
এখন ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য কলন বিদ্যা (integration) প্রয়োগ করা যাক।
ক্ষেত্রফল \(A = \displaystyle \int_{0}^{4} y\,dx = \int_{0}^{4} 4x\,dx.\)
অতএব, \(A = 4 \int_{0}^{4} x\,dx = 4 \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = 4 \times 8 = 32.\)
অতএব ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হবে 32 বর্গ একক।
✅ নির্ণেয় উত্তর: \(A = 32\) বর্গ একক
Q2.(c)(v) কলন বিদ্যার প্রয়োগে \(3\sin x + 4\)-এর সর্বাধিক মান নির্ণয় করো, যেখানে \(0 \le x \le \pi\)।
সমাধানঃ
ধরি, \(y = 3\sin x + 4.\)
এখন, সর্বাধিক বা ন্যূনতম মান নির্ণয়ের জন্য \(\dfrac{dy}{dx} = 0\) হতে হবে।
\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = 3\cos x.\)
অতএব, \(\frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \cos x = 0.\)
এখন \(0 ≤ x ≤ \pi\)-এর মধ্যে \(\cos x = 0\) হলে \(x = \tfrac{\pi}{2}.\)
এখন দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ পরীক্ষা করা যাকঃ
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2} = -3\sin x.\)
যখন \(x = \tfrac{\pi}{2}\), তখন \(\sin x = 1 \Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2} = -3 ≤ 0.\)
অতএব, \(x = \tfrac{\pi}{2}\)-এ \(y\)-এর মান সর্বাধিক।
সেই মানঃ \(y = 3\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) + 4 = 3(1) + 4 = 7.\)
✅ নির্ণেয় সর্বাধিক মান: \(7\)
Q2.(c)(vi) Rolle’s উপপাদ্যটি লেখো।
উত্তরঃ
Rolle’s উপপাদ্য অনুসারে —
যদি কোনো বাস্তব ফাংশন \(f(x)\) নিম্নলিখিত তিনটি শর্ত পূরণ করে:
1. \(f(x)\) বন্ধ ইন্টারভাল \([a,b]\)-এ সন্তত (continuous),
2. \(f(x)\) উন্মুক্ত ইন্টারভাল \((a,b)\)-এ অন্তরকলনযোগ্য (differentiable),
3. \(f(a) = f(b)\),
তবে অবশ্যই অন্তত একটি বিন্দু \(c\) থাকবে, যেখানে \(a ≤ c ≤ b\) এবং
\(\displaystyle f'(c) = 0.\)
✅ এই বক্তব্যকেই Rolle’s theorem বলা হয়।
Q2.(d)(i) \(\vec{a} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}\) এবং \(\vec{b} = \hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}\) হলে, যে সামান্তরিকের দুটি সংলগ্ন বাহু এই দুটি ভেক্টর, তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = \(|\vec{a} \times \vec{b}|\).
অতএব,
\(\displaystyle \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -2 & 1 \\ 1 & -3 & 4 \end{vmatrix}.\)
= \(\hat{i}((-2)\cdot4 - 1\cdot(-3)) - \hat{j}(3\cdot4 - 1\cdot1) + \hat{k}(3\cdot(-3) - (-2)\cdot1)\)
= \(\hat{i}(-8 + 3) - \hat{j}(12 - 1) + \hat{k}(-9 + 2)\)
= \((-5)\hat{i} - 11\hat{j} - 7\hat{k}\)
অতএব, \(|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-5)^2 + (-11)^2 + (-7)^2} = \sqrt{25 + 121 + 49}\) \(= \sqrt{195}.\)
✅ নির্ণেয় ক্ষেত্রফল: \(\sqrt{195}\) বর্গ একক।
Q2.(d)(ii) দুটি সরলরেখার দিক্ অনুপাতগুলি (2, 1, -2) এবং (3, -4, 5); তাদের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণ নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
ধরা যাক প্রথম সরলরেখার দিক্ অনুপাত \((a_1, b_1, c_1) = (2, 1, -2)\)
এবং দ্বিতীয় সরলরেখার দিক্ অনুপাত \((a_2, b_2, c_2) = (3, -4, 5).\)
তাহলে, দুই সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\)-এর জন্য সূত্র —
\(\displaystyle \cos \theta = \frac{a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}\;\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}.\)
অতএব,
\(\displaystyle \cos \theta = \frac{(2)(3) + (1)(-4) + (-2)(5)}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}\;\sqrt{3^2 + (-4)^2 + 5^2}}.\)
(= \(\frac{6 - 4 - 10}{\sqrt{9}\;\sqrt{50}} = \frac{-8}{3\sqrt{50}} = \frac{-8}{3 \times 5\sqrt{2}} = \frac{-8}{15\sqrt{2}}\)).
অতএব,
\(\displaystyle \theta = \cos^{-1}\!\left(\frac{8}{15\sqrt{2}}\right)\) (কারণ সূক্ষ্মকোণ বিবেচনায় মানের ধনাত্মক মান নেওয়া হয়)।
✅ নির্ণেয় কোণ: \(\displaystyle \theta = \cos^{-1}\!\left(\frac{8}{15\sqrt{2}}\right)\)
Q2.(e)(i) (A) ও (B) দুটি স্বাধীন ঘটনা হলে প্রমাণ করো যে, \(\displaystyle P(A \cup B) = 1 - P(A^{C}) \cdot P(B^{C}).\)
সমাধানঃ
আমরা জানি — \((A \cup B)^C = A^C \cap B^C\) (De Morgan's Law)।
তাহলে,
\(\displaystyle P(A \cup B) = 1 - P\big((A \cup B)^C\big) = 1 - P(A^C \cap B^C).\)
যেহেতু \(A\) ও \(B\) স্বাধীন, তাই \(A^C\) ও \(B^C\) ও স্বাধীন। অর্থাৎ \(P(A^C \cap B^C) = P(A^C) \cdot P(B^C).\)
অতএব,
\(\displaystyle P(A \cup B) = 1 - P(A^C) \cdot P(B^C).\)
✅ প্রমাণিত: \(\; P(A \cup B) = 1 - P(A^C)P(B^C)\)
Q2.(e)(ii) একটি দ্বিপদ বিভাজনের মধ্যক 4 এবং সমক পার্থক্য 3 — বিবৃতিটি সত্য হতে না পারার কারণ কী?
সমাধানঃ
দ্বিপদ বিভাজনের (Binomial Distribution) ক্ষেত্রে —
গড় (Mean), \(\mu = np\)
সমক পার্থক্য (Standard Deviation), \(\sigma = \sqrt{npq}\), যেখানে \(q = 1 - p\)
প্রশ্নে বলা হয়েছে — মধ্যক = 4 এবং সমক পার্থক্য = 3। কিন্তু কোনো দ্বিপদ বিভাজনের জন্য সমক পার্থক্য (mean deviation) সমক পার্থক্যর (standard deviation) তুলনায় ছোট হয় এবং তা কখনো এত বেশি হতে পারে না যে তার দ্বারা দেওয়া মধ্যক–পার্থক্যের মান সঙ্গত হয়।
অর্থাৎ এখানে প্রদত্ত দুই মান (4 এবং 3) এমন কোনো বাস্তব \((n, p)\)-এর মানের সাথে সঙ্গত নয় যা \(np = 4\) এবং \(\sqrt{np(1-p)} = 3\) উভয়কে পূরণ করে।
কারণ \(np(1-p)\)-এর সর্বাধিক মান হয় যখন \(p = \tfrac{1}{2}\), তখন \(\sqrt{np(1-p)} = \sqrt{n/4}.\) এখন যদি সেটি 3 হয়, তবে \(n = 36\), অর্থাৎ \(np = 18\), যা 4 নয়। তাই এই দুটি মান একসাথে সম্ভব নয়।
✅ অতএব, প্রদত্ত বিবৃতিটি সত্য হতে পারে না — কারণ এমন কোনো দ্বিপদ বিভাজন নেই যার মধ্যক 4 এবং সমক পার্থক্য 3 হয়।
Q3.(a)(i) মনে করো \(A = \mathbb{R} - \{3\} \) এবং \(B = \mathbb{R} - \{1\} \)। প্রমাণ করো \( f: A \to B \) অপেক্ষক যা \( f(x) = \dfrac{x-2}{x-3} \) দ্বারা সংজ্ঞাত, একটি একৈকী উপরিচিত্রণ (bijection)।
সমাধানঃ
প্রথমে দেখাই (f) একৈকী (one-one):
ধরি, ( f(x_1) = f(x_2) )
\(\Rightarrow \dfrac{x_1 - 2}{x_1 - 3} = \dfrac{x_2 - 2}{x_2 - 3}\)
\(\Rightarrow (x_1 - 2)(x_2 - 3) = (x_2 - 2)(x_1 - 3)\)
\(\Rightarrow x_1x_2 - 3x_1 - 2x_2 + 6 = x_1x_2 - 3x_2 - 2x_1 + 6\)
\(\Rightarrow -3x_1 - 2x_2 = -3x_2 - 2x_1\)
\(\Rightarrow x_1 = x_2\)
অতএব, (f) একৈকী। ✅
এবার দেখাই (f) উপরিচিত্রণ (onto):
ধরি \(y \in B\), অর্থাৎ \(y \ne 1\)। আমাদের এমন \(x \in A\) খুঁজতে হবে যাতে \(f(x) = y\)।
\(\Rightarrow \dfrac{x - 2}{x - 3} = y\)
\(\Rightarrow x - 2 = y(x - 3)\)
\(\Rightarrow x - 2 = yx - 3y\)
\(\Rightarrow x - yx = -3y + 2\)
\(\Rightarrow x(1 - y) = 2 - 3y\)
\(\Rightarrow x = \dfrac{2 - 3y}{1 - y}\)
এখানে \(y \ne 1\) হওয়ায় \(x\)-এর মান নির্দিষ্টভাবে পাওয়া যায় এবং \(x \ne 3\), তাই \(x \in A\)।
অতএব, প্রতিটি \(y \in B\)-এর জন্য অন্তত একটি \(x \in A\) বিদ্যমান, যাতে \(f(x)=y\)।
অতএব, (f) উপরিচিত্রণ। ✅
✅ অতএব, (f) একৈকী ও উপরিচিত্রণ উভয়ই; তাই (f) একটি বাইজেক্টিভ অপেক্ষক।
Q3.(a)(ii) \(\cos^{-1}x + \cos^{-1}y + \cos^{-1}z = \pi\) হলে, প্রমাণ করো যে \(\displaystyle x^2 + y^2 + z^2 + 2xyz = 1.\)
সমাধানঃ
\(\cos^{-1}x+\cos^{-1}y+\cos^{-1}z=\pi\)
\(\cos^{-1}x+\cos^{-1}y=\pi-\cos^{-1}z\)
\(\cos^{-1}\big(xy-\sqrt{1-x^{2}}\sqrt{1-y^{2}}\big)=\pi-\cos^{-1}z\)
\(xy-\sqrt{1-x^{2}}\sqrt{1-y^{2}}=\cos\big(\pi-\cos^{-1}z\big)\)
\(xy-\sqrt{1-x^{2}}\sqrt{1-y^{2}}=-\cos(\cos^{-1}z)\)
\(xy-\sqrt{1-x^{2}}\sqrt{1-y^{2}}=-z\)
\(xy+z=\sqrt{1-x^{2}}\sqrt{1-y^{2}}\)
উভয় পক্ষ বর্গ করলে পাওয়া যায় —
\((xy+z)^{2}=(1-x^{2})(1-y^{2})\)
\(x^{2}y^{2}+z^{2}+2xyz = 1 - x^{2} - y^{2} + x^{2}y^{2}\)
\(x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz=1\)
✅ প্রমাণিতঃ \(\boxed{x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz=1}\).
Q3.(b)(i) \(A + I_3 = \begin{pmatrix}1 & 3 & 4 \\ -1 & 1 & 3 \\ -2 & -3 & 1\end{pmatrix}\) হলে, \((A + I_3)(A - I_3)\)-এর মান নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
প্রদত্ত, \(\displaystyle A + I_3 = \begin{pmatrix}1 & 3 & 4 \\ -1 & 1 & 3 \\ -2 & -3 & 1\end{pmatrix}\)
অতএব, \(A = (A + I_3) - I_3 = \begin{pmatrix}1 & 3 & 4 \\ -1 & 1 & 3 \\ -2 & -3 & 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\)
\(\Rightarrow A = \begin{pmatrix}0 & 3 & 4 \\ -1 & 0 & 3 \\ -2 & -3 & 0\end{pmatrix}\)
এখন, \((A + I_3)(A - I_3) = A^2 - I_3\) (কারণ \((A + I)(A - I) = A^2 - I\))
প্রথমে \(A^2\) নির্ণয় করিঃ
\( A = \begin{pmatrix}0 & 3 & 4 \\ -1 & 0 & 3 \\ -2 & -3 & 0 \end{pmatrix}\)
\[A^2 = A \times A = \begin{pmatrix} (0)(0)+(3)(-1)+(4)(-2) & (0)(3)+(3)(0)+(4)(-3) & (0)(4)+(3)(3)+(4)(0) \\ (-1)(0)+(0)(-1)+(3)(-2) & (-1)(3)+(0)(0)+(3)(-3) & (-1)(4)+(0)(3)+(3)(0) \\ (-2)(0)+(-3)(-1)+(0)(-2) & (-2)(3)+(-3)(0)+(0)(-3) & (-2)(4)+(-3)(3)+(0)(0) \end{pmatrix}\]
\(\Rightarrow A^2 = \begin{pmatrix} -11 & -12 & 9 \\ -6 & -12 & -4 \\ 3 & -6 & -17 \end{pmatrix}\)
অতএব, \[(A + I_3)(A - I_3) = A^2 - I_3 = \begin{pmatrix} -11 & -12 & 9 \\ -6 & -12 & -4 \\ 3 & -6 & -17 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]
✅ \((A + I_3)(A - I_3) = \begin{pmatrix} -12 & -12 & 9 \\ -6 & -13 & -4 \\ 3 & -6 & -18 \end{pmatrix}\)
অথবা,
\(3A = \begin{pmatrix}-1 & 2 & -2 \\ -2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1\end{pmatrix}\) হলে দেখাও যে \(A\) একটি লম্ব ম্যাট্রিক্স। \(A^{-1}\) নির্ণয় করো।
দেওয়া আছে, \(3A=\begin{pmatrix}-1 & 2 & -2\\ -2 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 1\end{pmatrix}\)
∴ \(A=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}-1 & 2 & -2\\ -2 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 1\end{pmatrix}=\dfrac{1}{3}B\)
যেখানে, \(B=\begin{pmatrix}-1 & 2 & -2\\ -2 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 1\end{pmatrix}\)
সুতরাং, \(A^{-1}=\dfrac{1}{3}B^{-1}\)
\(|B|=\begin{vmatrix}-1 & 2 & -2\\ -2 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 1\end{vmatrix}\)
\(R_1\) এর উপাদান দ্বারা প্রসার করলেই পাই —
\( =-1(1-4)-2(-2-4)-2(-4-2) \)
\( =3+12+12 \)
\( =27 \ne 0 \)
∴ \(B^{-1}\) এর অস্তিত্ব আছে,
\( \text{adj }B= \begin{pmatrix} \begin{vmatrix}1 & 2\\ 2 & 1\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}-2 & -2\\ 2 & 1\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}-2 & 2\\ 2 & 2\end{vmatrix}\\[6pt] -\begin{vmatrix}2 & -2\\ 2 & 1\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}-1 & -2\\ 2 & 1\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}-1 & 2\\ 2 & 2\end{vmatrix}\\[6pt] \begin{vmatrix}2 & -2\\ 1 & 2\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}-1 & -2\\ -2 & 1\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}-1 & 2\\ -2 & 2\end{vmatrix} \end{pmatrix}^{T} \)
\( =\begin{pmatrix} (1-4) & -(-2-4) & (-4-2)\\ -(2+4) & (-1+4) & -(-2-4)\\ (4+2) & -(-2-4) & (-1+4) \end{pmatrix}^{T} \)
\( =\begin{pmatrix} -3 & 6 & -6\\ -6 & 3 & 6\\ 6 & 6 & 3 \end{pmatrix}^{T} \)
\( ∴ \text{adj }B= \begin{pmatrix} -3 & -6 & 6\\ 6 & 3 & 6\\ -6 & 6 & 3 \end{pmatrix} \)
∴ \(B^{-1}=\dfrac{\text{adj }B}{|B|}\)
\( =\dfrac{1}{27} \begin{pmatrix} -3 & -6 & 6\\ 6 & 3 & 6\\ -6 & 6 & 3 \end{pmatrix} \)
\( =\dfrac{1}{9} \begin{pmatrix} -1 & -2 & 2\\ 2 & 1 & 2\\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \)
সুতরাং, \(A^{-1}=\dfrac{1}{3}B^{-1}\)
\( ⇒ A^{-1}=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{9} \begin{pmatrix} -1 & -2 & 2\\ 2 & 1 & 2\\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \)
\( ∴ A^{-1}=\dfrac{1}{27} \begin{pmatrix} -1 & -2 & 2\\ 2 & 1 & 2\\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \)
এখন,
\( AA^{T} =\dfrac{1}{3} \begin{pmatrix} -1 & 2 & -2\\ -2 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \times \dfrac{1}{3} \begin{pmatrix} -1 & -2 & 2\\ 2 & 1 & 2\\ -2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \)
\( =\dfrac{1}{9} \begin{pmatrix} (1+4+4) & (2+2-4) & (-2+4-2)\\ (2+2-4) & (4+1+4) & (-4+2+2)\\ (-2+4-2) & (-4+2+2) & (4+4+1) \end{pmatrix} \)
\( =\dfrac{1}{9} \begin{pmatrix} 9 & 0 & 0\\ 0 & 9 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix} \)
\( =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=I_3 \)
∴ \(AA^{-1}=I_3\)
∴ \(A\) একটি লম্ব (orthogonal) ম্যাট্রিক্স।
✅ অতএব, \(A\) একটি লম্ব (orthogonal) ম্যাট্রিক্স এবং \( A^{-1}=\dfrac{1}{3}B^{-1}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{9} \begin{pmatrix} -1 & -2 & 2\\ 2 & 1 & 2\\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} =\dfrac{1}{27} \begin{pmatrix} -1 & -2 & 2\\ 2 & 1 & 2\\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \)
Q3.(b)(ii) প্রমাণ করো \(\displaystyle \left|\begin{array}{ccc} 2a & a-b-c & 2a \\ 2b & 2b & b-c-a \\ c-a-b & 2c & 2c \end{array}\right| = (a+b+c)^3.\)
সমাধানঃ
\( \begin{vmatrix} 2a & a-b-c & 2a \\ 2b & 2b & b-c-a \\ c-a-b & 2c & 2c \end{vmatrix} \)
\(\begin{vmatrix} 2a+c-a-b+2b & a-b-c+2b+2c & 2a+b-c-a+2c \\ 2b & 2b & b-c-a \\ c-a-b & 2c & 2c \end{vmatrix} \) [\( R_1 = R_1 + R_2 + R_3 \)]
\( = \begin{vmatrix} a+b+c & a+b+c & a+b+c \\ 2b & 2b & b-c-a \\ c - a - b & 2c & 2c \end{vmatrix} \)
∴ \((a+b+c)\) কে সাধারণ উৎপাদক (common factor) হিসেবে বাইরে নেওয়া যায়।
\( = (a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2b & 2b & b-c-a \\ c-a-b & 2c & 2c \end{vmatrix} \)
\( = (a+b+c) \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & b+c+a & b-c-a \\ - a - b - c & 0 & 2c \end{vmatrix} \) \([c_1 = c_2 - c_1, \, c_2 = c_2 - c_3]\)
∴ \((a+b+c)\) কে সাধারণ উৎপাদক (common factor) হিসেবে C1 ও C2 থেকে বাইরে নেওয়া যায়।
\( = (a+b+c)^3 \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & b-c-a \\ -1 & 0 & 2c \end{vmatrix} \)
\( = (a+b+c)^3 [1(0+1)] \)
\( = (a+b+c)^3 \)
✅ প্রমাণিত: \( \begin{vmatrix} 2a & a-b-c & 2a \\ 2b & 2b & b-c-a \\ c-a-b & 2c & 2c \end{vmatrix} = (a+b+c)^3 \)
অথবা,
\( a \ne p,\, b \ne q,\, c \ne r \) এবং \( \begin{vmatrix} p & b & c \\ a & q & c \\ a & b & r \end{vmatrix} = 0 \) হলে, \( \dfrac{p}{p-a} + \dfrac{q}{q-b} + \dfrac{r}{r-c} \)-এর মান নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
ধরি, \( D = \begin{vmatrix} p & b & c \\ a & q & c \\ a & b & r \end{vmatrix}\)
\( \begin{vmatrix} p-a & 0 & c-r \\ 0 & q-b & c-r \\ a & b & r \end{vmatrix} \) [\( R_1 \to R_1 - R_3 \) এবং \( R_2 \to R_2 - R_3 \) প্রক্রিয়া করেছি]
\( = (p-a)(q-b)(r-c) \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ \dfrac{a}{p-a} & \dfrac{b}{q-b} & \dfrac{r}{r-c} \end{vmatrix} \) [C1, C2, এবং C3-কে যথাক্রমে \((p-a), (q-b)\) এবং \((r-c)\) দ্বারা ভাগ করেছি]
\( = (p-a)(q-b)(r-c) \left[ 1 \left\{ \dfrac{a}{p-a} + \dfrac{b}{q-b} + \dfrac{r}{r-c} \right\} \right] \)
কিন্তু শর্তানুসারে, \( D = 0 \)
\( \therefore (p-a)(q-b)(r-c) \left\{ \dfrac{a}{p-a} + \dfrac{b}{q-b} + \dfrac{r}{r-c} \right\} = 0 \)
\( \therefore \dfrac{a}{p-a} + \dfrac{b}{q-b} + \dfrac{r}{r-c} = 0 \quad [\because p \ne a,\, q \ne b,\, r \ne c] \)
\(\Rightarrow \left( \dfrac{a}{p-a} + 1 \right) + \left( \dfrac{b}{q-b} + 1 \right) + \left( \dfrac{r}{r-c} \right) = 2 \)
\( \therefore \dfrac{p}{p-a} + \dfrac{q}{q-b} + \dfrac{r}{r-c} = 2 \)
✅ অতএব, \( \dfrac{p}{p-a} + \dfrac{q}{q-b} + \dfrac{r}{r-c} = 2 \)
Q3.(c)(i) \[ f(x) = \begin{cases} 2 - x, & \text{যখন } x \le 0, \\ 2 + 2x, & \text{যখন } x > 0. \end{cases} \] হলে দেখাও যে \(f(x)\), \(x = 0\)-তে সন্তত কিন্তু \(f'(0)\)-এর অস্তিত্ব নেই।
সমাধানঃ
প্রথমে সন্ততা (Continuity) যাচাই করি:
(f(0) = 2 - 0 = 2.)
এখন, \(\displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (2 - x) = 2.\)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (2 + 2x) = 2.\)
যেহেতু \(\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 2,\) তাই \(f(x)\) বিন্দু \(x = 0\)-এ সন্তত। ✅
এবার অন্তরকলনীয়তা (Differentiability) যাচাই করি:
বাম দিকীয় অন্তরকলনঃ \(\displaystyle f'_-(0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h}\)
\(= \lim_{h \to 0^-} \frac{(2 - h) - 2}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1.\)
ডান দিকীয় অন্তরকলনঃ \(\displaystyle f'_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h}\)
\(= \lim_{h \to 0^+} \frac{(2 + 2h) - 2}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2h}{h} = 2.\)
এখন দেখা যাচ্ছে, \(f'_-(0) = -1 \ne 2 = f'_+(0).\)
অতএব, \(f'(0)\)-এর অস্তিত্ব নেই।
✅ প্রমাণিত: \(f(x)\) বিন্দু \(x = 0\)-তে সন্তত, কিন্তু অন্তরকলনযোগ্য নয়।
অথবা,
\(y = log(tan \frac{x}{2})\) হলে দেখাও যে \(\sin x \dfrac{d^2y}{dx^2} + cos x \dfrac{dy}{dx} = 0\).
সমাধানঃ
যেহেতু \(y = \log(\tan \tfrac{x}{2})\)
এখন উভয়পক্ষে \(x\)-এর সাপেক্ষে ডিফারেনশিয়েট করলে পাই,
\(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\tan \tfrac{x}{2}} \times \bigl(\sec^2 \tfrac{x}{2}\bigr) \times \tfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\cos \tfrac{x}{2}}{2 \sin \tfrac{x}{2}} \times \dfrac{1}{\cos^2 \tfrac{x}{2}}\)
\(\Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{2 \sin \tfrac{x}{2} \cos \tfrac{x}{2}} = \dfrac{1}{\sin x} \quad [\because 2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta]\)
\(\Rightarrow \sin x \dfrac{dy}{dx} = 1\)
এখন উভয়পক্ষে \(x\)-এর সাপেক্ষে ডিফারেনশিয়েট করলে পাই,
\(\Rightarrow \sin x \dfrac{d^2y}{dx^2} + \dfrac{dy}{dx}\,(\cos x) = 0\)
✅ প্রমাণিত হলো : \(\sin x \dfrac{d^2y}{dx^2} + cos x \dfrac{dy}{dx} = 0\)
Q3.(c)(ii) মান নির্ণয় করো \(\displaystyle \int \sin(\log x)\,dx\).
সমাধানঃ
ধরি, \(I = \displaystyle \int \sin(\log x)\,dx.\)
এখন, \(\log x = t \Rightarrow x = e^t,\; dx = e^t\,dt.\)
অতএব, \(I = \displaystyle \int e^t \sin t\,dt.\)
এখন, integration by parts ব্যবহার করি। ধরি \(u = \sin t,\; dv = e^t dt.\)
\(\Rightarrow du = \cos t\,dt,\; v = e^t.\)
তাহলে,
\(\displaystyle I = e^t \sin t - \int e^t \cos t\,dt.\)
এখন \(\displaystyle \int e^t \cos t\,dt\) অংশটিও integration by parts দিয়ে সমাধান করবঃ
ধরি \(u = \cos t,\; dv = e^t dt \Rightarrow du = -\sin t\,dt,\; v = e^t.\)
\[\displaystyle \int e^t \cos t\,dt = e^t \cos t - \int e^t(-\sin t)\,dt = e^t \cos t + \int e^t \sin t\,dt = e^t \cos t + I.\]
এখন, প্রথম সমীকরণে এটি বসাইঃ \(I = e^t \sin t - (e^t \cos t + I)\)
\(\Rightarrow 2I = e^t(\sin t - \cos t)\)
\(\Rightarrow I = \dfrac{e^t}{2}(\sin t - \cos t) + C.\)
এখন \(t = \log x\) বসালে পাইঃ
\(\displaystyle I = \frac{x}{2}\big[\sin(\log x) - \cos(\log x)\big] + C.\)
✅ নির্ণেয় মান: \(\displaystyle \int \sin(\log x)\,dx = \frac{x}{2}\big[\sin(\log x) - \cos(\log x)\big] + C.\)
অথবা
\(\displaystyle \int\bigl(\sqrt{\cot x}-\sqrt{\tan x}\bigr)\,dx\) এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
\( \displaystyle \int\big(\sqrt{\cot x}-\sqrt{\tan x}\big)\,dx \)
\( = -\left\{\displaystyle \int\big(\sqrt{\tan x}-\sqrt{\cot x}\big)\,dx\right\} \)
\( = -\left\{\displaystyle \int\left(\sqrt{\dfrac{\sin x}{\cos x}}-\sqrt{\dfrac{\cos x}{\sin x}}\right)\,dx\right\} \)
\( = -\left\{\displaystyle \int \dfrac{\sin x-\cos x}{\sqrt{\cos x}\sqrt{\sin x}}\,dx\right\} \)
\( = -\left\{\sqrt{2}\displaystyle \int \dfrac{\sin x-\cos x}{\sqrt{\sin 2x}}\,dx\right\} \)
\( = -\left\{\sqrt{2}\displaystyle \int \dfrac{\sin x-\cos x}{\sqrt{(1+\sin 2x)-1}}\,dx\right\} \)
\( = -\left\{\sqrt{2}\displaystyle \int \dfrac{\sin x-\cos x}{\sqrt{(\sin x+\cos x)^2-1}}\,dx\right\} \)
ধরি, \( \sin x+\cos x = z \)
\( \Rightarrow dz = (\cos x - \sin x)\,dx \)
\( = \sqrt{2}\displaystyle \int \dfrac{dz}{\sqrt{z^2-1}} \)
\( = \sqrt{2}\log\big| z + \sqrt{z^2-1}\,\big| + C \)
\( = \sqrt{2}\log\big| \sin x + \cos x + \sqrt{\sin 2x}\,\big| + C \)
✅ নির্ণেয় মান: \(\displaystyle \int\bigl(\sqrt{\cot x}-\sqrt{\tan x}\bigr)\,dx = \sqrt{2}\log\big| \sin x + \cos x + \sqrt{\sin 2x}\,\big| + C \)
Q3.(c)(iii) সমাধান করো \( \displaystyle (x+2y^{3})\frac{dy}{dx} = y \), দেওয়া আছে \( x=1 \) যখন \( y=-1 \)।
সমাধানঃ
প্রদত্ত সমীকরণটিকে নিচের আকারে প্রকাশ করা যায় :
প্রথমে সমীকরণকে \( \dfrac{dx}{dy} \) রূপে লিখি (কেননা সমীকরণে \(dy/dx\) আছে, উল্টিয়ে নিলে সহজ হবে):
\( (x + 2y^{3})\dfrac{dy}{dx} = y \quad\Longrightarrow\quad y\,\dfrac{dx}{dy} = x + 2y^{3} \).
এখান থেকে সরলীকরণ করে পাই :
\( \dfrac{dx}{dy} - \dfrac{1}{y}\,x = 2y^{2} \quad\) ... (i)
এটি একটি প্রথম ক্রমের রৈখিক অবকল সমীকরণ, যেখানে \(P_{1} = -\dfrac{1}{y}\) এবং \(Q_{1}=2y^{2}\)।
সমাধানের জন্য ইন্টিগ্রেটিং ফ্যাক্টর (I.F.) দরকারঃ
\( \text{I.F.} = e^{\int P_{1}\,dy} = e^{\int -\dfrac{1}{y}\,dy} = e^{-\ln|y|} = |y|^{-1} = \dfrac{1}{y} \).
সমীকরণ (i)-এর উভয় পক্ষকে \( \dfrac{1}{y} \) দ্বারা গুণ করলে পাবঃ
\( \dfrac{dx}{dy}\cdot \dfrac{1}{y} - \dfrac{x}{y^{2}} = 2y \).
বাম পাশে লক্ষ্য করুন এটি হলো \( \dfrac{d}{dy}\!\left( x\cdot \dfrac{1}{y} \right) \)। তাই
\( \dfrac{d}{dy}\!\left( x\cdot \dfrac{1}{y} \right) = 2y \).
এখন উভয় পাশে \(dy\) যোগ করে ইন্টিগ্রেট করলে :
\( x\cdot \dfrac{1}{y} = \int 2y\,dy = y^{2} + c,\quad c \) সমাকলন ধ্রুবক।
অতএব
\( x = y^{3} + c\,y \).
শর্ত অনুযায়ী \( x=1\) যখন \( y=-1\)। তাই
\( 1 = (-1)^{3} + c\cdot(-1) \;\Rightarrow\; 1 = -1 - c \).
\( \Rightarrow c = -2\).
তাই সম্মিলিত নির্দিষ্ট সমাধান হবে :
\( x = y^{3} - 2y \).
✅ নির্দিষ্ট (particular) সমাধান: \(\boxed{\,x = y^{3} - 2y\,}\) যা শর্ত \(x=1\) যখন \(y=-1\) সিদ্ধ করে।
অথবা
সমাধান করো \(x\,dx + y\,dy + \dfrac{x\,dy - y\,dx}{x^2 + y^2} = 0\), দেওয়া আছে \(y=1\) যখন \(x=1\)।
সমাধানঃ
এক্ষেত্রে, \(x dx + y dy = \frac{1}{2} d(x^{2}+y^{2})\) এবং ধরি, \(tan\theta = \frac{y}{x}\)
অতএব, \(\theta = \tan^{-1}\frac{y}{x}\)
\(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরকলজ করলে পাই
\(\frac{d\theta}{dx} = \frac{1}{1+\frac{y^{2}}{x^{2}}} \times \frac{x\frac{dy}{dx} - y\times1}{x^{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{d\theta}{dx} = \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} \times \frac{x dy - y dx}{x^{2} dx}\)
\(\Rightarrow d\theta = \frac{x dy - y dx}{x^{2}+y^{2}}\)
অতএব, \(x dx + y dy + \frac{x dy - y dx}{x^{2}+y^{2}} = 0\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2} d(x^{2}+y^{2}) + d\theta = 0\)
সমাকল করলে পাই–
\(\Rightarrow \int \frac{1}{2} d(x^{2}+y^{2}) + \int d\theta = C,\) C হল সমাকল ধ্রুবক
\(\Rightarrow \frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}) + \theta = C \)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}) + \tan^{-1}\frac{y}{x} = C .....(i)\)
যখন \(y=1\) এবং \(x=1\), তখন–
\(\Rightarrow \frac{1}{2}(1^{2}+1^{2}) + \tan^{-1}(\frac{1}{1}) = C\)
\(\Rightarrow 1 + \frac{\pi}{4} = C\)
(i) নম্বর সমীকরণটিতে C এর মান বসিয়ে পাই -
\(\frac{x^{2}+y^{2}}{2} + \tan^{-1}\frac{y}{x} = \frac{\pi}{4} + 1\)
✅ নির্ণেয় সমাধানঃ \(\boxed{\frac{x^{2}+y^{2}}{2} + \tan^{-1}\frac{y}{x} = \frac{\pi}{4} + 1}\)
Q3.(d)(i) \(\vec{a}=2\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k},\; \vec{b}=-\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k},\; \vec{c}=3\hat{i}+\hat{j}\) ভেক্টর তিনটি এমন যে \(\vec{a}+\lambda\vec{b}\) এবং \(\vec{c}\) পরস্পর লম্ব। \(\lambda\)-এর মান নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
যেহেতু \(\vec{a}+\lambda\vec{b}\) এবং \(\vec{c}\) পরস্পর লম্ব, তাই
\((\vec{a}+\lambda\vec{b})\cdot\vec{c}=0.\)
অর্থাৎ \(\vec{a}\cdot\vec{c} + \lambda(\vec{b}\cdot\vec{c}) = 0.\)
এখন প্রদত্ত ভেক্টরগুলো বসাইঃ
\(\vec{a}=2\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k},\; \vec{b}=-\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k},\; \vec{c}=3\hat{i}+\hat{j}+0\hat{k}.\)
তাহলে \(\vec{a}\cdot\vec{c} = (2)(3) + (2)(1) + (3)(0) = 6 + 2 = 8.\)
\(\vec{b}\cdot\vec{c} = (-1)(3) + (2)(1) + (1)(0) = -3 + 2 = -1.\)
অতএব, \(8 + \lambda(-1) = 0 \Rightarrow 8 - \lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 8.\)
✅ নির্ণেয় মান: \(\boxed{\lambda = 8}\)
Q3.(d)(ii) প্রমাণ করো \[ (\vec{a}+\vec{b})\cdot\{(\vec{b}+\vec{c}) \times (\vec{c}+\vec{a})\} = 2\,\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c}) \]
সমাধানঃ
\((\vec{b}+\vec{c}) \times (\vec{c}+\vec{a}) = \vec{b}\times\vec{c} + \vec{b}\times\vec{a} + \vec{c}\times\vec{c} + \vec{c}\times\vec{a}.\)
যেহেতু \(\vec{c}\times\vec{c}=0,\) তাই \((\vec{b}+\vec{c}) \times (\vec{c}+\vec{a}) = \vec{b}\times\vec{c} + \vec{b}\times\vec{a} + \vec{c}\times\vec{a}.\)
সুতরাং, \((\vec{a}+\vec{b})\cdot\{(\vec{b}+\vec{c}) \times (\vec{c}+\vec{a})\}\) \(= (\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{b}\times\vec{c} + \vec{b}\times\vec{a} + \vec{c}\times\vec{a}).\)
\(= \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) + \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{a}) + \vec{a}\cdot(\vec{c}\times\vec{a})\) \(+ \vec{b}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) + \vec{b}\cdot(\vec{b}\times\vec{a}) + \vec{b}\cdot(\vec{c}\times\vec{a}).\)
এখন, scalar triple product সূত্র অনুযায়ী \(\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{a}) = 0,\; \vec{a}\cdot(\vec{c}\times\vec{a}) = 0,\; \vec{b}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) = 0,\; \vec{b}\cdot(\vec{b}\times\vec{a}) = 0.\)
সুতরাং অবশিষ্ট থাকে— \(\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) + \vec{b}\cdot(\vec{c}\times\vec{a}).\)
cyclic property ব্যবহার করলে, \(\vec{b}\cdot(\vec{c}\times\vec{a}) = \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}).\)
অতএব, \((\vec{a}+\vec{b})\cdot\{(\vec{b}+\vec{c}) \times (\vec{c}+\vec{a})\} = 2\,\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}).\)
অন্যদিকে, scalar triple product সূত্রে \(\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) = (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c} = \vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c}).\)
✅ প্রমাণিতঃ \( (\vec{a}+\vec{b})\cdot\{(\vec{b}+\vec{c}) \times (\vec{c}+\vec{a})\} = 2\,\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c}) \)
Q3.(e)(i) প্রমাণ করো \(\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{x\sin x}{1+\cos^{2}x}\,dx = \frac{\pi^{2}}{4}\).
সমাধানঃ
ধরি, \(\displaystyle I = \int_{0}^{\pi} \frac{x\sin x}{1+\cos^{2}x}\,dx \) …(1)
এখন, ধরি \(\displaystyle I = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x)\sin x}{1+\cos^{2}x}\,dx \) …(2)
এখন (1) ও (2) যোগ করলে পাইঃ
\(\displaystyle 2I = \int_{0}^{\pi} \frac{\pi\sin x}{1+\cos^{2}x}\,dx.\)
এখন, \(\cos x = t \Rightarrow -\sin x\,dx = dt.\)
\(\displaystyle 2I = -\pi \int_{1}^{-1} \frac{dt}{1+t^{2}} = \pi \int_{-1}^{1} \frac{dt}{1+t^{2}}.\)
\(\displaystyle 2I = \pi \left[\tan^{-1}(t)\right]_{-1}^{1}.\)
\(\displaystyle 2I = \pi\left(\tan^{-1}(1)-\tan^{-1}(-1)\right).\)
\(\displaystyle 2I = \pi\left(\frac{\pi}{4}-(-\frac{\pi}{4})\right) = \pi \cdot \frac{\pi}{2}.\)
\(\displaystyle 2I = \frac{\pi^{2}}{2} \;\;\Rightarrow\;\; I = \frac{\pi^{2}}{4}.\)
✅ প্রমাণিত: \(\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{x\sin x}{1+\cos^{2}x}\,dx = \frac{\pi^{2}}{4}.\)
Q3.(e)(ii) মান নির্ণয় করো \( \lim_{n \to \infty}\left[\frac{1^{2}}{n^{3}+1^{3}}+\frac{2^{2}}{n^{3}+2^{3}}+\ldots+\frac{n^{2}}{n^{3}+n^{3}}\right]. \)
সমাধানঃ
দেওয়া সীমাটি হলো — \( I = \lim_{n \to \infty}\left[\frac{1^{2}}{n^{3}+1^{3}}+\frac{2^{2}}{n^{3}+2^{3}}+\cdots+\frac{n^{2}}{n^{3}+n^{3}}\right]. \)
এখন প্রতিটি পদের লব ও হরকে \(n^3\) দ্বারা ভাগ করি —
\( I = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left[ \frac{\left(\frac{1}{n}\right)^2}{1+\left(\frac{1}{n}\right)^3} + \frac{\left(\frac{2}{n}\right)^2}{1+\left(\frac{2}{n}\right)^3} + \cdots + \frac{\left(\frac{n}{n}\right)^2}{1+\left(\frac{n}{n}\right)^3} \right]. \)
ধরি, \(x_r = \frac{r}{n}\), যেখানে \(r = 1, 2, \dots, n.\)
তাহলে \( \dfrac{1}{n}\sum_{r=1}^{n} f(x_r) \) যখন \(n \to \infty\), তখন এটি একটি রীমান সাম (Riemann Sum)।
অতএব, \( I = \int_{0}^{1} \frac{x^2}{1+x^3}\,dx. \)
ধরি \(u = 1 + x^3 \Rightarrow du = 3x^2 dx \Rightarrow x^2 dx = \frac{du}{3}.\)
সীমা পরিবর্তন করলে পাই, \(x=0 \Rightarrow u=1; \quad x=1 \Rightarrow u=2.\)
অতএব, \( \int_{0}^{1} \frac{x^2}{1+x^3}\,dx = \frac{1}{3}\int_{1}^{2} \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{3}[\ln u]_{1}^{2} = \frac{1}{3}(\ln 2 - \ln 1) = \frac{1}{3}\ln 2. \)
✅ নির্ণেয় মানঃ \( \boxed{I = \frac{1}{3}\ln 2.} \)
Q3.(f)(i) কোনো সমসম্ভব পরীক্ষা যখন 5 বার পুনরাবৃত্ত হয়, তখন একটি দ্বিপদ বিভাজনের মধ্যক ও ভেদমানের সমষ্টি 1.8 হলে বিভাজনটি নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
আমাদের দেওয়া আছে: \( n = 5 \). ধরি, প্রতিটি ট্রায়ালে সফলতার সম্ভাবনা \( p \). তাহলে দ্বিপদ বিভাজনটি হবে —
\( P(X = x) = {}^5C_x\,p^x(1-p)^{5-x} \)
দ্বিপদ বিভাজনের মধ্যক (Mean) হলো \( \mu = np = 5p. \)
এবং ভেদমান (Variance) হলো \( \sigma^2 = np(1-p) = 5p(1-p). \)
প্রশ্নে বলা আছে, মধ্যক + ভেদমান = 1.8
অতএব, \( 5p + 5p(1-p) = 1.8. \)
\( \Rightarrow 5p + 5p - 5p^2 = 1.8 \)
\( \Rightarrow 10p - 5p^2 = 1.8 \)
\( \Rightarrow 5p^2 - 10p + 1.8 = 0 \)
\( \Rightarrow p^2 - 2p + 0.36 = 0 \)
এখন, সমাধান করে পাই, \( p = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(0.36)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 1.44}}{2} = \frac{2 \pm 1.6}{2}. \)
অতএব, \( p = 1.8 \) অথবা \( p = 0.2 \).
যেহেতু সম্ভাবনা 1-এর থেকে বেশি হতে পারে না, তাই \( p = 0.2 \).
অতএব, \( q = 1 - p = 0.8 \).
দ্বিপদ বিভাজনটি হবে —
\( P(X = x) = {}^5C_x (0.2)^x (0.8)^{5-x}. \)
✅ নির্ণেয় উত্তরঃ \( \boxed{P(X = x) = {}^5C_x (0.2)^x (0.8)^{5-x}} \)
Q3.(f)(ii) (A) চাইছে (B)-কে আঘাত করতে, কিন্তু (B) ও (C) দুজনেই (A)-কে আঘাত করতে চাইছে। (A, B, C)-এর আঘাত করার সম্ভাবনা যথাক্রমে \( \frac{2}{3}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3} \)। যদি (A) আঘাত প্রাপ্ত হয়, তবে আঘাতটি (B) করবে কিন্তু (C) করতে পারবে না — এর সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
ধরা যাক তিনটি ঘটনা হলো —
- \(B\): B আঘাত করে,
- \(C\): C আঘাত করে।
ঘটনা \(E\): “A আঘাতপ্রাপ্ত হয়েছে”। তাহলে এটি ঘটতে পারে তিনভাবে —
- B এবং C উভয়ে আঘাত করেছে,
- B আঘাত করেছে কিন্তু C করেনি,
- C আঘাত করেছে কিন্তু B করেনি।
এখন, \(P(B) = \frac{1}{2},\; P(C) = \frac{1}{3}.\)
সুতরাং —
\(P(B \cap C) = P(B) \cdot P(C) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}.\)
\(P(B \cap \bar{C}) = P(B) \cdot (1 - P(C)) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}.\)
\(P(\bar{B} \cap C) = (1 - P(B)) \cdot P(C) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}.\)
অতএব, \(P(E) = P(B \cap C) + P(B \cap \bar{C}) + P(\bar{B} \cap C)\)
\(= \frac{1}{6} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3}.\)
এখন যা চাই — “A আঘাতপ্রাপ্ত হয়েছে এই শর্তে, B আঘাত করেছে কিন্তু C পারেনি।”
অতএব, \(P(B \cap \bar{C} \mid E) = \frac{P(B \cap \bar{C})}{P(E)} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}.\)
✅ নির্ণেয় সম্ভাবনা: \( \boxed{\tfrac{1}{2}} \)
4.(a)(i) একজন অসুস্থ ব্যক্তির খাদ্যে কমপক্ষে 4000 একক ভিটামিন, 50 একক খনিজ এবং 1400 ক্যালোরি শক্তি থাকা প্রয়োজন। দুই প্রকার খাদ্য \( A \) এবং \( B \) পাওয়া যায়। প্রতি একক \( A \) খাদ্যের দাম 4 টাকা এবং \( B \) খাদ্যের দাম 3 টাকা। প্রতি একক \( A \) খাদ্যে 200 একক ভিটামিন, 1 একক খনিজ এবং 40 ক্যালোরি শক্তি আছে। প্রতি একক \( B \) খাদ্যে 100 একক ভিটামিন, 2 একক খনিজ এবং 40 ক্যালোরি শক্তি আছে। এই সমস্যাটির জন্য একটি রৈখিক প্রোগ্রাম বিধি গঠন করো যাতে খাবারের খরচ সবথেকে কম হয়।
সমাধানঃ
| খাদ্য | ভিটামিন (একক) | মিনারেল (একক) | ক্যালোরি (একক) | দাম (টাকা / একক) |
|---|---|---|---|---|
| \(A\) | 200 | 1 | 40 | 4 |
| \(B\) | 100 | 2 | 40 | 3 |
ধরা যাক, \(x\) একক হলো \(A\) খাদ্যের পরিমাণ এবং \(y\) একক হলো \(B\) খাদ্যের পরিমাণ যা অসুস্থ ব্যক্তিকে গ্রহণ করতে হবে যেখানে খরচ সর্বনিম্ন হবে এবং খাদ্যের চাহিদাও পূরণ হবে।
তাহলে খরচের অভিষ্ঠ অপেক্ষক (কমাতে হবে) —
\( Z = 4x + 3y \)
শর্তাবলী —
\(200x + 100y \ge 4000\)
\(x + 2y \ge 50\)
\(40x + 40y \ge 1400\)
এবং \(x \ge 0,\; y \ge 0\)
অর্থাৎ,
শর্তাবলী —
\( 2x + y \ge 40 \)
\( x + 2y \ge 50 \)
\( x + y \ge 35\)
এবং \(x \ge 0,\; y \ge 0 \)
✅ সুতরাং, \( 2x + y \ge 40, \; x + 2y \ge 50, \; x + y \ge 35, \; x \ge 0, \; y \ge 0 \) এটিই রৈখিক প্রোগ্রাম মডেল — অভিষ্ঠ সমীকরণটি ক্ষুদ্রতর করে শর্তগুলো পূরণ করতে হবে এবং \(x,y\) অনুগত থাকতে হবে।
4.(a)(ii) লেখচিত্রের সাহায্যে রৈখিক প্রোগ্রাম বিধি সমস্যাটির সমাধান করো এবং অভিষ্ট অপেক্ষক \(Z\)-এর চরম মান নির্ণয় করো: \(Z=4x+3y,\; x+y \leq 50,\; x+2y \leq 80,\; 2x+y \geq 20,\; x,y \geq 0\).
সমাধানঃ
দেওয়া অসমীকরণগুলির দ্বারা সীমাবদ্ধ রেখাগুলি হলো —
\(x + 2y = 80\) (সবুজ রেখা)
\(x + y = 50\) (লাল রেখা)
\(2x + y = 20\) (নীল রেখা)
\(x = 0, \; y = 0\) (অক্ষদ্বয়)
লেখচিত্র হতে দেখা যায় যে, সম্ভাব্য অঞ্চলটি চিত্রে ছায়াযুক্ত অংশ, এবং তার কোণবিন্দুগুলি হলো —
\(A(10,0), \; B(50,0), \; C(0,25), \; D(0,20)\)
প্রতিটি বিন্দুতে অভিষ্ঠ অপেক্ষকের মান \(Z = 4x + 3y\) গণনা করি —
| বিন্দু | \(x\) | \(y\) | \(Z = 4x + 3y\) |
|---|---|---|---|
| A(10,0) | 10 | 0 | 40 |
| B(50,0) | 50 | 0 | 200 |
| C(0,25) | 0 | 25 | 75 |
| D(0,20) | 0 | 20 | 60 |
অতএব,
সর্বাধিক মান \(Z_{\max} = 200\) \(B(50,0)\) বিন্দুতে।
✅ অতএব, প্রদত্ত রৈখিক প্রোগ্রাম সমস্যার সর্বোত্তম সমাধান হলো \( x = 50, \quad y = 0,\) এবং \(Z_{\max} = 200.\)
4.(b)(i) কলন বিদ্যার সাহায্যে \(y=mx+c,\; x^2+y^2=a^2\)-এর স্পর্শক হওয়ার শর্ত নির্ণয় করো। অতঃপর দেখাও যে \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তের বাইরে অবস্থিত একটি বিন্দু থেকে বৃত্তের উপর দুটি স্পর্শক অঙ্কন করা সম্ভব।
সমাধানঃ
\(y=mx+c\) কে \(x^2+y^2=a^2\)-এ বসাই — \(x^2+(mx+c)^2=a^2\) \(\Rightarrow (1+m^2)x^2+2mcx+(c^2-a^2)=0\).
এই দ্বিঘাত সমীকরণের একটিমাত্র সমাধান থাকলে সরলরেখাটি বৃত্তকে স্পর্শ করবে।
অতএব, শর্ত হবে— \((2mc)^2 - 4(1+m^2)(c^2-a^2)=0\).
\(\Rightarrow c^2(1+m^2)=a^2.\)
এখন, যদি একটি বিন্দু \((x_1,y_1)\) বৃত্তের বাইরে থাকে, তবে \(x_1^2+y_1^2 > a^2\). তখন উক্ত বিন্দুর থেকে টানা সরলরেখার উপরোক্ত শর্ত পূরণ করে দুটি স্পর্শক সম্ভব।
✅ প্রমাণিতঃ বৃত্তের বাইরে অবস্থিত একটি বিন্দু থেকে বৃত্তের উপর দুটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
4.(b)(ii) সমাধান করো \( (x^{2}+y^{2})\,dx - 2xy\,dy = 0 \). প্রদত্ত \(y=0\) হবে যখন \(x=1\).
সমাধানঃ
\( \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{2xy} \quad \cdots (1) \)
ধরি \(y = vx\) (যেখানে \(v\) কেবল \(x\)-এর একটি অপেক্ষক)।
তখন \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}\).
এটি (1)-এ বসালে পাই, \( v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x^2 + v^2 x^2}{2x\cdot v x} = \frac{1+v^2}{2v}. \)
\( \Rightarrow x\frac{dv}{dx} = \frac{1+v^2}{2v} - v = \frac{1-v^2}{2v}. \)
\( \Rightarrow \frac{dx}{x} = \frac{2v}{1-v^2}\,dv. \)
সমাকলন করলে পাইঃ \( \int \frac{dx}{x} = \int \frac{2v}{1-v^2}\,dv \)
\( \Rightarrow \log|x| = -\log|1-v^2| + \log|c|.\)
\(\Rightarrow \log\left|x\Big(1-\frac{y^2}{x^2}\Big)\right| = \log|c|.\)
\(\Rightarrow x^2 - y^2 = cx.\)
প্রারম্ভিক শর্ত অনুযায়ী, যখন \(y=0,\; x=1\) → \(1^2-0^2 = c\cdot 1 \Rightarrow c=1\).
✅ উত্তরঃ \(\boxed{x^2 - y^2 = x}\).
4.(b)(iii) কলন বিদ্যার সাহায্যে \((0,0)\) থেকে সরলরেখা \(3x+4y+5=0\)-এর উপর লম্ব দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, সরলরেখা \(3x + 4y + 5 = 0\)।
অতএব, \(y = -\dfrac{5 + 3x}{4}\)।
ধরা যাক, বিন্দু \((0,0)\) থেকে সরলরেখা \(3x + 4y + 5 = 0\)-এর যে কোনো বিন্দু \((x,y)\) পর্যন্ত দূরত্ব \(D\)।
\( D = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2} \)
\( \Rightarrow D = \sqrt{x^2 + y^2} \)
এখন \(y\)-এর মান স্থাপন করলে পাই,
\( D = \sqrt{x^2 + \left(-\dfrac{5 + 3x}{4}\right)^2} \)
\( \Rightarrow D = \sqrt{x^2 + \dfrac{(5 + 3x)^2}{16}} \quad \text{...(i)} \)
\(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরকলজ করে পাই,
\( \dfrac{dD}{dx} = \dfrac{1}{2\sqrt{x^2 + \dfrac{(5 + 3x)^2}{16}}} \times \left(2x + \dfrac{2(5 + 3x)\times3}{16}\right) \)
\( = \dfrac{1}{2\sqrt{x^2 + \dfrac{(5 + 3x)^2}{16}}} \times \left(2x + \dfrac{3(5 + 3x)}{8}\right) \)
অতএব,
\[ \dfrac{dD}{dx} = \dfrac{1}{2\sqrt{x^2 + \dfrac{(5 + 3x)^2}{16}}} \times \dfrac{25x + 15}{8} \Rightarrow \dfrac{dD}{dx} = \dfrac{25x + 15}{16\sqrt{x^2 + \dfrac{(5 + 3x)^2}{16}}}. \]
এখন, \(D\)-এর মান ন্যূনতম বা সর্বাধিক হতে হলে,
\( \dfrac{dD}{dx} = 0 \Rightarrow 25x + 15 = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{3}{5}. \)
অতএব,
\( y = -\dfrac{5 + 3\left(-\dfrac{3}{5}\right)}{4} = -\dfrac{5 - \dfrac{9}{5}}{4} = -\dfrac{\dfrac{16}{5}}{4} = -\dfrac{4}{5}. \)
এখন দ্বিতীয় অবকলন গুণাঙ্ক \(\dfrac{d^2D}{dx^2}\) নির্ণয় করি,
\( \dfrac{d^2D}{dx^2} = \dfrac{100\{16x^2 + (5 + 3x)^2\} - (25x + 15)(50x + 30)}{[16x^2 + (5 + 3x)^2]^{3/2}}. \)
অতএব,
\[ \dfrac{d^2D}{dx^2}\bigg|_{x = -\frac{3}{5}} = \dfrac{100\Big\{16\left(-\dfrac{3}{5}\right)^2 + (5 + 3\left(-\dfrac{3}{5}\right))^2\Big\} - \{25\left(-\dfrac{3}{5}\right) + 15\}(50\left(-\dfrac{3}{5}\right) + 30)}{[16\left(-\dfrac{3}{5}\right)^2 + (5 + 3\left(-\dfrac{3}{5}\right))^2]^{3/2}}. \]
এবং দেখা যায় \(\dfrac{d^2D}{dx^2} > 0\), অর্থাৎ \(D\)-এর মান ন্যূনতম।
অতএব, \(x = -\dfrac{3}{5}\)-এ \(D\) ন্যূনতম।
এখন ন্যূনতম মান নির্ণয় করি —
\( D_{\min} = \sqrt{\left(-\dfrac{3}{5}\right)^2 + \left(-\dfrac{4}{5}\right)^2} \)
\( = \sqrt{\dfrac{9}{25} + \dfrac{16}{25}} \)
\( = \sqrt{\dfrac{25}{25}} = 1. \)
✅ সুতরাং, \((0,0)\) বিন্দু থেকে সরলরেখা \(3x + 4y + 5 = 0\) পর্যন্ত লম্ব দূরত্ব 1 একক।
4.(b)(iv) সীমার যোগফল আকারে প্রকাশ করে \(\displaystyle \int_{0}^{2}(3x^{2}+2x)\,dx\)-এর মান নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
\( \int_{0}^{2}(3x^{2}+2x)\,dx \)
নির্দিষ্ট সমাকলনের সংজ্ঞা থেকে পাই \( \int_{0}^{2}(3x^{2}+2x)\,dx = \lim_{h\to 0} h \sum_{r=1}^{n}\big[3(rh)^{2}+2(rh)\big], \) যেখানে \(nh = 2 - 0 = 2.\)
\( = \lim_{h\to 0} h\Big[3h^{2}(1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}) + 2h(1+2+3+\cdots+n)\Big]. \)
এখন সূত্র ব্যবহার করি, \( 1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \) এবং \( 1+2+3+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}.\)
সুতরাং, \( = \lim_{h\to 0}\Big[3h^{3}\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2h^{2}\cdot \frac{n(n+1)}{2}\Big]. \)
যেহেতু \(nh = 2,\) তাই \(n = \frac{2}{h}\). বসালে পাই— \( = \lim_{h\to 0}\Bigg[\frac{(2/h)\,h\,(2+h)\,(4+2h)}{2} + (2/h)\,h\,(2+h)\Bigg]. \)
\( = \lim_{h\to 0}\Bigg[\frac{2(2+h)(4+2h)}{2} + 2(2+h)\Bigg]. \)
\(h\to 0\) হলে পাই— \( = (2\times 2\times 2) + (2\times 2) = 8 + 4 = 12. \)
✅ উত্তরঃ \(12.\)
4.(c)(i) \( (1,2,3) \) বিন্দুগামী যে সরলরেখা \( \dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z}{3} \) এবং \( \dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z+5}{5} \)-এর উপর লম্ব তার সমীকরণ নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
সরলরেখা \( \dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z}{3} \) এর দিক ভেক্টর হবে \( \vec{d_1} = (2,1,3) \)
সরলরেখা \( \dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z+5}{5} \) এর দিক ভেক্টর হবে \( \vec{d_2} = (-1,3,5) \)
যে সরলরেখাটি চাই, তা উভয় \( \vec{d_1} \) এবং \( \vec{d_2} \)-এর সাথে লম্ব হবে; অতএব এর দিক ভেক্টর \( \vec{d} \) হবে \( \vec{d_1} \) ও \( \vec{d_2} \)-এর ভেক্টর গুন্ ।
\[ \vec d = \overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2} = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k\\[4pt] 2 & 1 & 3\\[4pt] -1 & 3 & 5 \end{vmatrix} = (5-9)\hat i - (10+3)\hat j + (6+1)\hat k = -4\hat i -13\hat j +7\hat k. \]
অতএব দিক ভেক্টর হবে \( \vec{d} = (-4,-13,7) \).
যে সরলরেখাটি আমরা চাই, তা বিন্দু \( (1,2,3) \) দিয়ে যাবে এবং দিক ভেক্টর হবে \( (-4,-13,7) \)।
∴ প্যারামেট্রিক রূপে সমীকরণটি হবে: \( x = 1 - 4t,\quad y = 2 - 13t,\quad z = 3 + 7t.\)
✅ উত্তরঃ কার্তেজীয় রূপে সমীকরণটি হবে: \( \dfrac{x-1}{-4} = \dfrac{y-2}{-13} = \dfrac{z-3}{7}.\)
4.(c)(ii) \( (-1,-1,2) \) বিন্দুগামী এবং \( 3x+2y-3z=1 \) এবং \( 5x-4y+z=5 \) সমতল দুটির উপর লম্ব সমতলটির সমীকরণ নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
ধরি, নির্ণেয় সমতল–এর অভিলম্বের দিক অনুপাত \(a, b, c\).
তাহলে সমতলটি প্রদত্ত দুই সমতলের উভয়ের সাপেক্ষে লম্ব হবে।
অতএব, \( 3a + 2b - 3c = 0 \quad ...(1) \) এবং \( 5a - 4b + c = 0 \quad ...(2) \).
এখন (1) ও (2) একসাথে সমাধান করলে পাওয়া যায়,
\( \dfrac{a}{-10} = \dfrac{b}{-18} = \dfrac{c}{-22} \).
অর্থাৎ, অভিলম্বের দিক অনুপাত \( (-10, -18, -22) \).
এখন, যেহেতু সমতলটি \( (-1, -1, 2) \) বিন্দুগামী, তাই সমীকরণ হবে –
\( -10(x + 1) - 18(y + 1) - 22(z - 2) = 0 \) \( \Rightarrow -10x - 10 - 18y - 18 - 22z + 44 = 0 \) \( \Rightarrow -10x - 18y - 22z + 16 = 0 \) \( \Rightarrow 5x + 9y + 11z - 8 = 0. \)
✅ নির্ণেয় সমতলের সমীকরণ হলো \( 5x + 9y + 11z - 8 = 0 \).
Hi Please, do not Spam in Comments.